Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當m=1時，若方程在區間上有唯一的實數解，求實數a的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間即可；

（2）分離a，得到a＝1，令g（x）＝1，根據函數的單調性求出a的范圍即可.

（1）f（x）的定義域是（0，+∞）， f′（x）=x+m+=，

m≥0時，f′（x）＞0， 故m≥0時，f（x）在（0，+∞）遞增；

m＜0時，方程x2+mx+m=0的判別式為： △=m2-4m＞0，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故m＜0時，f（x）在（，+∞）遞增，在（0，）遞減；

（2）m=1時，由題意得：x2+x+lnx=x2+ax， 整理得：a=1+，

令g（x）=1+，g′（x）=，

令g′（x）＞0，解得：x∈（0，e），函數g（x）在（0，e）遞增，

令g′（x）＜0，解得：x∈（e，+∞），函數g（x）在（e，+∞）遞減；

若方程f（x）=x2+ax在[e，+∞）上有唯一實數根，

須求g（x）在[e，+∞）上的取值范圍，

g（x）≤g（e）=1+，又g（x）=1+＞1，（x＞e）， ∴a的范圍是g（）≤a≤1，

即1-e≤a≤1；