Question

選修4-5：不等式選講：已知a＞0，b＞0．求證：(a+b+

1

a

)(a2+

1

b

+

1

a2

)≥9．

Answer 1

分析：由已知中a＞0，b＞0，由基本不等式我們可得a+b+

1

a

≥3

3	a•b• 1 a

=3

3	b

＞0，a2+

1

b

+

1

a2

≥3

3	1 b

＞0，進(jìn)而由不等式的基本性質(zhì)，可得結(jié)論．

解答：證明：因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a+b+

1

a

≥3

3	a•b• 1 a

=3

3	b

＞0．①…（4分）
同理可證a2+

1

b

+

1

a2

≥3

3	1 b

＞0．②…（6分）
由①，②結(jié)合不等式的性質(zhì)得(a+b+

1

a

)(a2+

1

b

+

1

a2

)≥3

3	b

×3

3	1 b

=9．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是不等式的證明，基本不等式的用法，其中根據(jù)基本不等式分別求出不等號左邊兩個(gè)式子的范圍，是解答本題的關(guān)鍵．