Question

（2013•河池模擬）定義在R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=kx+b（k，b為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，則稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．
現有如下函數：
①f（x）=x³；
②f（x）=2^-x；
③f(x)=

lgx，x＞0 0，x≤0

；
④f（x）=x+sinx．
則存在承托函數的f（x）的序號為

②④

．（填入滿足題意的所有序號）

Answer 1

分析：函數g（x）=kx+b（k，b為常數）是函數f（x）的一個承托函數，即說明函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方（至多有一個交點），若函數的值域為R，則顯然不存在承托函數．

解答：解：函數g（x）=kx+b（k，b為常數）是函數f（x）的一個承托函數，即說明函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方（至多有一個交點）
①f（x）=x³的值域為R，所以不存在函數g（x）=kx+b，使得函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方，故不存在承托函數；
②f（x）=2^-x＞0，所以y=A（A≤0）都是函數f（x）的承托函數，故②存在承托函數；
③∵f(x)=

lgx，x＞0 0，x≤0

的值域為R，所以不存在函數g（x）=kx+b，使得函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方，故不存在承托函數；
④f（x）=x+sinx≥x-1，所以存在函數g（x）=x-1，使得函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方，故存在承托函數；
故答案為：②④

點評：本題是新定義題，考查對題意的理解和轉化的能力，要說明一個命題是正確的，必須給出證明，對于存在性命題的探討，只需舉例說明即可，對于不正確的命題，舉反例即可，有一定的綜合性．