Question

（1）當時, 求的單調區間、極值；
（2）求證：在（1）的條件下，；
（3）是否存在實數，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由

Answer 1

(1)的的單調遞減區間為（0，1）；單調遞增區間為（1，e）；的極小值為
(3)

（1）當時， ， 1分
∴當時，，此時單調遞減
當時，，此時單調遞增   …………………………………3分
的的單調遞減區間為（0，1）；單調遞增區間為（1，e）；
的極小值為       ………………………………………………4分
（2）由（1）知在上的最小值為1， ……………………………………5分
令，  
， ………………………6分
當時，，在上單調遞增 …………………………………7分
∴ w
∴在（1）的條件下， …………………………………………………8分
(1)假設存在實數，使（）有最小值，
     ……………………………………………………9分
①當時，
，
在上單調遞增，此時無最小值. …10分
②當時，
若，故在上單調遞減，
若，故在上單調遞增.
，得，滿足條件.  ……………………………12分
③當時，
，在上單調遞減，
（舍去），
所以，此時無最小值. ……13分            
綜上，存在實數，使得當時的最小值是……………………14分
（3）法二：假設存在實數，使的最小值是，
故原問題等價于：不等式對恒成立，求“等號”取得時實數a的值.
即不等式對恒成立，求“等號”取得時實數a的值.
設 即 ，   ………………10分
又      ……………………………11分
令
當，，則在單調遞增；
當，，則在單調遞減. ……………………13分
故當時，取得最大值，其值是 .
故 
綜上，存在實數，使得當時的最小值是.……………………14分