Question

如圖，直角坐標系XOY中，點F在x軸正半軸上，△OFG的面積為S．且，設，．
（1）以O為中心，F為焦點的橢圓E經過點G，求點G的縱坐標．
（2）在（1）的條件下，當取最小值時，求橢圓E的標準方程．
（3）在（2）的條件下，設點A、B分別為橢圓E的左、右頂點，點C是橢圓的下頂點，點P在橢圓E上（與點A、B均不重合），點D在直線PA上，若直線PB的方程為，且，試求CD直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設G（x，y），利用△OFG的面積S=c•|y|=c即可求得點G的縱坐標；
（2）利用•=c（x-c）=1，可求得x=c+，從而可求得||=（c≥2），構造函數f（c）=c+，利用其單調性質可求得當c=2時f（c）有最小值，從而可求得G點坐標；
（3）由（2）知：A（-，0），B（，0），C（0，-），由設P（x₁，y₁），可求得k_AP•k_BP=-，繼而可求得k_AP=-，再由•=0可求得k_CD=5，從而可求得直線CD的方程．
解答：解：（1）設G（x，y）∵S=||•|y|，
∴c=c•|y|，|y|=，
∵=（c，0），=（x-c，y）（y＞0），
∴y=…（3分）
（2）由（1）知•=c（x-c）=1，∴x=c+
∴||==（c≥2）
∵f（c）=c+在[2，+∞]上遞增，
∴當c=2時f（c）有最小值2+=，
此時x=，y=，
∴G（，），
由于點G在橢圓E上，且c=2∴可求得a²=10，b²=6
方程為：+=1…（8分）
（3）由（2）知：A（-，0），B（，0），C（0，-），
∵直線BP：y=kx-3經過點B，
∴求得k=3
又設P（x₁，y₁）則=（10-），
∴k_AP•k_BP=×=
==-=-，
∴k_AP=-×=-•=-•=-，
∵•=0，
∴k_AP•k_CD=-1，
∴-•k_CD=-1，
∴k_CD=5．
又CD直線過點C（0，）故：所求CD方程為：y=5x-…（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的關系的綜合應用，考查雙鉤函數的單調性與最值，考查綜合分析與應用的能力，屬于難題．