Question

王老師給出一道題：定義在R上的偶函數f（x），滿足f（x+1）=-f（x），且在區間[-1，0]上是增函數，學生甲、乙、丙、丁各給出關于函數的一條性質：
甲：f（x+2）=f（x）                  乙：f（x）在區間[1，2]上是減函數
丙：f（x）的圖象關于直線x=1對稱     丁：f（x）在R上有最大（小）值
王老師看后說：“其中恰有三條正確，一條不正確”，請問是誰給出了錯誤的性質？（　　）

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），可得函數周期；根據偶函數f（x）在對稱區間上的單調性相反，且在區間[-1，0]上是增函數可得函數f（x）在[0，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增可判斷乙，結合函數的周期判斷丁正；由f（x+2）=f（x）=f（-x）可得f（2-x）=f（x）從而可判斷丙．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x）∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），可得函數的周期為2，故甲正確
由函數為定義在R上的偶函數f（x）可得函數的圖象關于y軸對稱，且在區間[-1，0]上是增函數
∴函數f（x）在[0，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增，故乙錯誤，結合函數的周期可知丁正確
∵f（x+2）=f（x）=f（-x）
∴f（2-x）=f（x）即函數的圖象關于x=1對稱．故丙正確
故選B

點評：本題主要考查了函數的奇偶性、函數的單調性及函數的周期等性質的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握函數的性質及一些常見的函數的性質的結論．