Question

已知x，y∈R⁺且x+y=4，則

1

x

+

2

y

的最小值是

1

4

(3+2

2

)

．

Answer 1

分析：x，y∈R⁺且x+y=4⇒

1

x

+

2

y

=（

1

x

+

2

y

）•

1

4

（x+y）=

1

4

（1+

y

x

+

2x

y

+2），應用基本不等式即可．

解答：解：∵x，y∈R⁺且x+y=4，
∴

1

x

+

2

y

=（

1

x

+

2

y

）•

1

4

（x+y）=

1

4

（1+

y

x

+

2x

y

+2）≥

1

4

（3+2

y x • 2x y

）=

1

4

(3+2

2

)（當且僅當 x=4（

2

-1）時取“=”）．
故答案為：

1

4

(3+2

2

)．

點評：本題考查基本不等式，著重考查整體代換的思想，易錯點在于應用基本不等式時需注意“一正二定三等”三個條件缺一不可，屬于基礎題．