Question

已知向量

a

，

b

，

c

滿足

a

+

b

+

c

=

0

，|

c

|=2

3

，

c

與

a

-

b

所成的角為120°，則當(dāng)t∈R時(shí)，|t

a

+(1-t)

b

|的取值范圍是

[

3

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：由向量的運(yùn)算法則作出圖象，并可知圖中的數(shù)量關(guān)系，把問(wèn)題轉(zhuǎn)換為|

AF

|的值，進(jìn)而結(jié)合圖象轉(zhuǎn)化為：A到直線BD上動(dòng)點(diǎn)的距離的取值范圍，結(jié)合三角形的知識(shí)可得答案．

解答：解：如圖所示，
記向量

AB

=

a

，

AC

=

b

，-

AC

=

c

，則

DB

=

a

-

b

由題意結(jié)合向量的加減運(yùn)算可得AC=2

3

，∠AOB=120°
在結(jié)合數(shù)乘的意義可得：|t

a

+(1-t)

b

|=|t(

a

-

b

)+

b

|=|t

DB

+

AD

|=|

DF

+

AD

|=|

AF

|，
代表點(diǎn)A到直線BD上動(dòng)點(diǎn)的距離，
而當(dāng)t變化時(shí)，點(diǎn)F在直線BD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到圖中的點(diǎn)E處，
此時(shí)AE⊥BD，使點(diǎn)A到直線BD上動(dòng)點(diǎn)的距離最小，
在RT△AOE中，AO=

3

，AE=AOsin∠AOB=

3

2

，故|t

a

+(1-t)

b

|≥AE=

3

2

，
故答案為：[

3

2

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題為向量最值得求解，數(shù)形結(jié)合把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到直線BD上動(dòng)點(diǎn)的距離是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．