Question

在整數集Z中，被5除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．給出如下四個結論：
①2011∈[1]；   
②-3∈[3]；   
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整數a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“a-b∈[0]”．
其中，正確結論的是

①③④

．

Answer 1

分析：對各個選項進行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵-3÷5=-1…2，③整數集中的數被5除的數可以且只可以分成五類，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④從正反兩個方面考慮即可得答案．

解答：解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①正確；
②∵-3=5×（-1）+2，∴-3∉[3]，故②錯誤；
③因為整數集中的數被5除的數可以且只可以分成五類，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正確；
④∵整數a，b屬于同一“類”，∴整數a，b被5除的余數相同，從而a-b被5除的余數為0，
反之也成立，故“整數a，b屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈[0]”．故④正確．
故答案為：①③④

點評：本題為同余的性質的考查，具有一定的創新，關鍵是對題中“類”的題解，屬基礎題．