Question

已知函數f(x)=

x

ax+b

(a，b是常數，且ab≠0)，滿足f（2）=1，且方程f（x）=x有唯一解．
（1）求f（x）＜0的解析式；
（2）若x∈[1，2]，求函數f（x）＜0的值域．

Answer 1

分析：（1）根據方程f（x）=x有唯一解，可得b的值，再利用f（2）=1，求出a，從而求出函數的解析式；
（2）先證明（1）中求得的函數在區間[1，2]上的單調遞增，根據函數的單調性求出函數的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=x有唯一解  即

x

ax+b

=x有唯一解，
∴ax²+（b-1）x=0有唯一解，又ab≠0，
∴△=（b-1）²=0解得b=1
又f（2）=1所以

2

2a+1

=1解得a=

1

2

∴f(x)=

2x

x+2

（2）由（1）知f(x)=

2x

x+2

=2-

4

x+2

設x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=2-

4

x1+2

-2+

4

x2+2

=

4(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

∵x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0＜x₁+2＜x₂+2，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在區間[1，2]上為增函數，
∴f(x)min=f(1)=

2

3

，f（x）_man=f（2）=1
∴函數f（x）的值域為[

2

3

，1]．

點評：本題考查了函數值域的求法，考查了函數解析式的求法，利用定義法證明函數在區間[1，2]上的單調遞增是解答本題的關鍵．