Question

【題目】已知橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線的斜率為，直線與橢圓交于兩點．點為橢圓上一點，求的面積的最大值及此時直線的直線方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）面積的最大值為,此時直線的方程為：

【解析】

（Ⅰ）根據題意列出關于的方程組，求解即可得出結果；

（Ⅱ）先設的方程為，點，再聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理、弦長公式以及點到直線距離，表示出的面積，進而可求出其最大值，確定此時的直線方程.

解：（Ⅰ）由條件得：，解得，∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）設的方程為，點，由消去得．令，解得，

由韋達定理得．

則由弦長公式得．

又點到直線的距離，

∴，

當且僅當，即時取得最大值．∴面積的最大值為，

此時直線的方程為：．