Question

設(shè)函數(shù)，方程x=f（x）有唯一解，其中實(shí)數(shù)a為常數(shù)，，f（x_n）=x_n+1（n∈N^*）
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求x₂₀₁₁的值；
（3）若且，求證：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

Answer 1

解：（1）由，可化簡為ax（x+2）=x∴ax²+（2a-1）x=0
∴當(dāng)且僅當(dāng)時，方程x=f（x）有唯一解．
從而
（2）由已知f（x_n）=x_n+1（n∈N^*），得
∴，即
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．，∴
∵，
∴，即
∴
故
（3）證明：∵，
∴∴
∴
故b₁+b₂+…+b_n＜n+1．
分析：（1）由方程x=f（x）有唯一解，則ax²+（2a-1）x=0有唯一解，知 ，由此能求出f（x）的表達(dá)式；
（2）由f（x_n）=x_n+1，知，由 等差數(shù)列的定義可求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由
b₁+b₂+…+b_n-n＜1，由此能證明b₁+b₂+…+b_n＜n+1．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意通項(xiàng)公式的求法和裂項(xiàng)公式的合理運(yùn)用，屬于中檔題．