Question

【題目】已知定義在R上的函數f(x)＝2x－.

(1)若f(x)＝，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1（2）[－5，＋∞)．

【解析】

（1）根據絕對值定義分類討論，通過解一元二次方程得x的值；（2）先根據平方關系化簡不等式，并變量分離為對應函數最值問題，最后根據指數函數單調性的最值，即得實數m的取值范圍．

解　(1)當x<0時，f(x)＝0，無解；

當x≥0時，f(x)＝2x－，

由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，

看成關于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，

∵2x>0，∴x＝1.

(2)當t∈[1,2]時，2t＋m≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)，

∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，

∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，

故m的取值范圍是[－5，＋∞)．