Question

4．某超市在開業一個月（30天）內日接待顧客人數（萬人）與時間t （天）的函數關系近似滿足f（t）=1+$\frac{4}{t}$，顧客人均消費額（元）與時間t（天）的函數關系近似滿足g（t）=84-|t-20|．
（1）求該超市日銷售額y （萬元）與時間t （天）的函數關系式；
（2）求該超市日銷售額的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據日銷售額$y=f（t）•g（t）=（{1+\frac{4}{t}}）（{84-|{t-20}|}）$，得該超市日銷售額y （萬元）與時間t （天）的函數關系式；
（2）因為g（t）=84-|t-20|中有一個絕對值，討論t的取值，1≤t≤20和20＜t≤30兩種情況化簡得g（t）為分段函數，第一段運用基本不等式求出最值，第二段是一個遞減的一次函數求出最值比較即可．

解答 解：（1）由題意可知，日銷售額$y=f（t）•g（t）=（{1+\frac{4}{t}}）（{84-|{t-20}|}）$=$\left\{\begin{array}{l}（{1+\frac{4}{t}}）（{t+64}），1≤t≤20\\（{1+\frac{4}{t}}）（{104-t}），20＜t≤30\end{array}\right.，t∈{N^*}$
（2）①當1≤t≤20且t∈N*時，$y=t+\frac{256}{t}+68≥2\sqrt{t•\frac{256}{t}}+68=100$，
當且僅當$t=\frac{256}{t}$，即t=16時取等號；
②當20＜t≤30且t∈N*時，$y=\frac{416}{t}-t+100$在區間（20，30]上單調遞減，
所以t=30時，${y_{min}}=\frac{1258}{15}$．因為$100＞\frac{1258}{15}$，
所以綜上，第30天該超市日銷售額最小，最小值為$\frac{1258}{15}$萬元．

點評 考查學生根據實際情況選擇函數類型的能力，以及基本不等式在求函數最值中的應用能力．