Question

已知函數f（x）滿足f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+

1

2

x2
（1）求f′（1），f（0）以及f（x）的單調區間；
（2）令h（x）=f（x）-x³-

1

2

ax2-e^x，若對h（x）在x∈（1，3）單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數進行求導，再使導函數的自變量為1，即得f′（1），f（0）然后令導函數大于0求出x的范圍，即可得到答案．
（2）先求函數h（x）的導函數，又由函數f（x）在區間（1，3）上是單調遞增，則函數的導函數≥0恒成立，列出不等式，求出解集即可到得到a的取值范圍．

解答：解：由于f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+

1

2

x2，則f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
令x=1得，f（0）=1，則f（x）=f′（1）e^x-1-x+

1

2

x2，
∴f（0）=f′（1）e^-1 則f′（1）=e，
得到f（x）=e^x-x+

1

2

x2，則g（x）=f′（x）=e^x-1+x，
g′（x）=e^x+1＞0，所以y=g（x）在x∈R上單調遞增，
則f′（x）＞0=f′（0）?x＞0，f′（x）＜0=f′（0）?x＜0，
所以f（x）=e^x-x+

1

2

x2的單調遞增區間為（0，+∞），單調遞減區間為（-∞，0）．
（2）由（1）知，h（x）=f（x）-x³-

1

2

ax2-e^x=-x³+

1

2

(1-a)x2-x，
∴h’（x）=-3x²+（1-a）x-1≥0對x∈（1，3）恒成立，
（1-a）x≥3x²+1，∵x∈（1，3），∴1-a≥

3x2+1

x

=3x+

1

x

令φ（x）=3x+

1

x

，φ′(x)=3-

1

x2

＞0，
∴1-a≥

28

3

，
∴a≤-

25

3

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．掌握不等式恒成立時所取的條件．