Question

設{a_n}是公比大于1的等比數列，S_n為數列{a_n}的前n項和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=an•log2a2n+1(n∈N*)，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，利用等差數列的性質，解關于a₂的方程可得a₂=2，設數列{a_n}的公比為q，繼而可求得q₁=2，從而可得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知a_n=2^n-1，依題意知b_n=2^n-1log₂2²ⁿ=n•2ⁿ，利用錯位相減法即可求得數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）由已知得

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

解得a₂=2．
設數列{a_n}的公比為q，由a₂=2，可得a₁=

2

q

，a₃=2q．
又S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，即2q²-5q+2=0，
解得q₁=2，q₂=

1

2

．由題意得q＞1，
∴q=2，
∴a₁=1，
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）知，b_n=2^n-1log₂2²ⁿ=n•2ⁿ，
故T_n=（1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ），
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹），
兩式相減，可得：-T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2--n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列與等比數列的通項公式，突出考查錯位相減法求和與解方程的能力，屬于中檔題．