Question

如圖，A為橢圓上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F₁、F₂，當AC垂直于x軸時，恰好有AF₁∶AF₂＝3∶1．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設．

①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，求λ₁＋λ₂的值；

②當A點為該橢圓上的一個動點時，試判斷是λ₁＋λ₂否為定值？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解(Ⅰ)設，則．由題設及橢圓定義得

　　，消去得，所以離心率．3分

　　(Ⅱ)解法一：由(1)知，，所以橢圓方程可化為．

　　①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，，直線的方程為．

　　由得　，解得，

　　∴點的坐標為．

　　又，所以，，所以，．6分

　　②當A點為該橢圓上的一個動點時，為定值6．

　　證明　設，，則．

　　若為橢圓的長軸端點，則或，

　　所以．8分

　　若為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則由得，，所以．

　　又直線的方程為，所以由得

．

　　，

　　∴．

　　由韋達定理得　，所以．同理．

　　∴．

　　綜上證得，當A點為該橢圓上的一個動點時，為定值6．14分

　　解法二：設，，則

　　∵，∴；………………8分

　　又①，②，將、代入②得：

　　即③；

　　③①得：；……………12分

　　同理：由得，∴，∴．…14分