Question

已知函數f（x）=x³+2f′（x）x，x∈[-3，3]
（1）求f（x）的極值；
（2）討論關于x的方程f（x）=m的實根個數．

Answer 1

分析：（1）求導數．利用導數求極值．（2）根據（1）求出函數f（x）的極值和最值即可．

解答：解：（1）函數的導數f'（x）=3x²+2f'（1），令x=1得，f'（1）=3+2f'（1），解得f'（1）=-3．
所以f(x)=x3-6x，f′(x)=3x2-6x=3(x-

2

)(x+

2

)．
列表：當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-3	（-3，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，3）	3
f'（x）		+		-		+
f（x）	-9	遞增	4 2	遞減	-4 2	遞增	9

所以當x=-

2

時，取得極大值 f（x）=4

2

，當x=

2

時，取得極小值 f（x）=-4

2

．
（2）由（1）可以作出函數f（x）=x³-6x在[-3，3]上的大致圖象如圖：
當m∈（-∞，-9）∪（9，+∞）時，方程無實數根；
當m∈[-9，-4

2

）∪（4

2

，9]時，方程有一個實數根；
當m=-4

2

或m=4

2

時，方程有兩個不等的實數根；
當m∈（-4

2

，4

2

）時，方程有三個不等的實數根．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值和最值，以及函數圖象的交點個數問題，運算量較大．