Question

12．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，設橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其中b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，F為橢圓的右焦點，P（1，1）為橢圓E內一點，PF⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過P點作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別與橢圓交于點A，C和B，D．若滿足|AP||PC|=|BP||DP|，問k₁+k₂是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：c=1，又b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，a²=b²+c²，聯立解出即可得出．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．AC：y=k₁（x-1）+1，BD：y=k₂（x-1）+1，分別與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系、兩點之間的距離公式即可得出．

解答 解：（1）∵F為橢圓的右焦點，P（1，1）為橢圓E內一點，PF⊥x軸．
∴c=1，又b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，a²=b²+c²，
聯立解得：a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
AC：y=k₁（x-1）+1，與橢圓聯立，得$（{4k_1^2+3}）{x^2}+8（{1-{k_1}}）{k_1}x+4{（{{k_1}-1}）^2}-12=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_3}=\frac{{8{k_1}（{{k_1}-1}）}}{4k_1^2+3}\\{x_1}{x_3}=\frac{{4k_1^2-8{k_1}-8}}{4k_1^2+3}\end{array}\right.$，
$|{AP}||{PC}|=（{1+{k^2}}）|{{x_1}-1}||{{x_3}-1}|=（{1+{k^2}}）|{{x_1}{x_3}-{x_1}-{x_3}+1}|=\frac{{5（{k_1^2+1}）}}{4k_1^2+3}$，
同理，$|{BP}||{PD}|=\frac{{5（{k_2^2+1}）}}{4k_2^2+3}=|{AP}||{PC}|=\frac{{5（{k_1^2+1}）}}{4k_1^2+3}$．
故$k_1^2=k_2^2$，∴k₁+k₂=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．