Question

有一個底面半徑和高都是R的圓錐形密閉容器，容器中裝有一些水．如果底朝下（且水平）時水的高度為1/2R，那么當底面朝上（且水平）時容器中水的高度為多少？

Answer 1

分析：如圖，設圓錐的頂點為S，它在底面上的射影是O，底朝下（且水平）時水面的圓心為Q，底面朝上（且水平）時水面的圓心為A．利用體積之差求出V_QO，又V_SA=

1

3

πh²×h=

1

3

πh³由V_SQ=V_OA=

7

24

πR³即可求得當底面朝上（且水平）時容器中水的高度．

解答：解：如圖，設圓錐的頂點為S，它在底面上的射影是O，底朝下（且水平）時水面的圓心為Q，底面朝上（且水平）時水面的圓心為A．則
V_SO=

1

3

πR²×R=

1

3

πR³
∴V_QO=

1

3

πR³-

1

3

π（

R

2

）³=

7

24

πR³
又V_SA=

1

3

πh²×h=

1

3

πh³
由V_SQ=V_OA=

7

24

πR³
∴h=

3 7

2

R．
那么當底面朝上（且水平）時容器中水的高度為

3 7

2

R．

點評：本小題主要考查旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）、組合幾何體的面積、體積問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．