Question

數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，對于任意n∈N*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}的前n項和為T_n，且bn=

lnnx

an2

，求證：對任意實數x∈（1，e]（e是常數，e=2.71828…）和任意正整數n，總有T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可得2S_n=a_n+a_n²①與2Sn-1=an-1+an-1 2②成立，①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，可以化簡為a_n-a_n-1=1（n≥2），進而可得{a_n}是公差為1的等差數列，將n=1代入①中，可得a₁=1，由等差數列的通項公式，可得答案；
（2）由對數的性質，分析可得對任意x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，而a_n=n，則總有bn=

lnnx

an2

≤

1

n2

，用放縮法，可得Tn≤

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

，由裂項相消法，對右式求和可得證明．

解答：解：（1）根據題意，對于任意n∈N*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數列，則對于n∈N^*，總有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2Sn-1=an-1+an-1 2（n≥2）②
①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）；
∵a_n，a_n-1均為正數，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴數列{a_n}是公差為1的等差數列，
又n=1時，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1
∴a_n=n．（n∈N^*）
（2）證明：由（1）的結論，a_n=n；對任意實數x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
對于任意正整數n，總有bn=

lnnx

an2

≤

1

n2

．
∴Tn≤

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2
對任意實數x∈（1，e]（e是常數，e=2.71828…）和任意正整數n，總有T_n＜2

點評：本題考查數列與不等式，類似（2）的證明不等式的問題，一般用放縮法，使用時，注意適當放縮，否則不會得到證明．