Question

（理）若二次項系數為a的二次函數f（x）同時滿足如下三個條件，求f（x）的解析式．
①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③對任意實數x，都有f（x）恒成立．

Answer 1

【答案】分析：方法一：設f（x）=ax²+bx+c（a＞0），由已知①②可得，然后由f（x）可得恒成立，結合二次函數的性質可求a，進而可求函數解析式
方法二：設，由f（1）=0，可得，而f（x）=a≥-恒成立，則-≥，且a＞0，可求a，從而可求
解答：解：方法一：利用一般解析式．設f（x）=ax²+bx+c（a＞0），
依題意得：⇒
由f（x）得恒成立，
∴即
∴a=1，
∴f（x）=x²-3x+2
方法二：依題意可設，由，，
從而f（x）=a≥-恒成立，則-≥，且a＞0，
∴≤0，a＞0，∴a=1．
從而f（x）==x²-3x+2
點評：本題主要考查了利用待定系數法求解二次函數的函數解析式，解答本題的關鍵是由二次函數的性質求解f（x）恒成立問題．