Question

設函數f（x）=ln（x+a）+x²
（I）若當x=-1時，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調性；
（II）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函數定義域，然后對函數求導，由題意可得，f′（-1）=0，代入可求a，代入a的值，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．
（II）由題意可得在區間（-a，+∞）上，f′（x）=0有根，結合一元二次方程根的存在情況討論該方程的△=4a²-8，求a的取值范圍，結合a的取值，把極值點代入函數f（x）可得，
解答：解：（Ⅰ），
依題意有f'（-1）=0，故．
從而．
f（x）的定義域為，當時，f'（x）＞0；
當時，f'（x）＜0；
當時，f'（x）＞0．
從而，f（x）分別在區間單調增加，在區間單調減少．

（Ⅱ）f（x）的定義域為（-a，+∞），．
方程2x²+2ax+1=0的判別式△=4a²-8．
（ⅰ）若△＜0，即，在f（x）的定義域內f'（x）＞0，故f（x）的極值．
（ⅱ）若△=0，則或．
若，，．
當時，f'（x）=0，
當時，f'（x）＞0，所以f（x）無極值．
若，，，f（x）也無極值．
（ⅲ）若△＞0，即或，則2x²+2ax+1=0有兩個不同的實根，．
當時，x₁＜-a，x₂＜-a，從而f'（x）有f（x）的定義域內沒有零點，
故f（x）無極值．
當時，x₁＞-a，x₂＞-a，f'（x）在f（x）的定義域內有兩個不同的零點，
由根值判別方法知f（x）在x=x₁，x=x₂取得極值．
綜上，f（x）存在極值時，a的取值范圍為．
f（x）的極值之和為．
點評：本題考查利用導數研究函數的極值及單調性，解題時若含有參數，要對參數的取值進行討論，而分類討論的思想也是高考的一個重要思想，要注意體會其在解題中的運用．