Question

已知，點B是軸上的動點，過B作AB的垂線交軸于點Q，若,.

(1)求點P的軌跡方程；

(2)是否存在定直線，以PM為直徑的圓與直線的相交弦長為定值，若存在,求出定直線方程;若不存在,請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1) y²=x;(2) 存在定直線x=

【解析】

試題分析：（1）設B(0，t)，Q（m，0），P（x，y），由射影定理并整理可得m=-4t，然后再利用已知條件和向量相等的坐標表示的充要條件列出關于x，y的方程即可得到點P的軌跡方程.（2）假設存在.根據已知幾何條件和勾股定理列出相交弦的表達式，再尋找a存在的條件即可.

試題解析：(1)設B(0，t)，設Q(m，0)，t²=|m|，m0， m=-4t²，

 Q(-4t²，0)，設P(x，y)，則=(x-，y)，=(-4t²-，0)，

2=(-，2 t)， +=2。

(x-，y)+ (-4t²-，0)= (-，2 t)，

 x=4t²，y=2 t， y²=x，此即點P的軌跡方程；       6分。

(2)由(1)，點P的軌跡方程是y²=x；設P(y²，y)，M (4，0) ，則以PM為直徑的圓的圓心即PM的中點T(，), 以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長:

L=2

 =2=2      10分

若a為常數，則對于任意實數y，L為定值的條件是a-=0, 即a=時，L=

 存在定直線x=，以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長為定值。

 (2)存在定直線x=，以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長為定值

考點：1.射影定理；2.向量相等的坐標表示的充要條件；3.勾股定理.