Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，點M、N分別為BC、PA的中點，且PA=AB=2．
（1）證明：BC⊥AMN；
（2）在線段PD上是否存在一點E，使得MN∥面ACE？若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由．
（3）求二面角A-PD-C的正切值．

Answer 1

證明：（1）∵ABCD為菱形，
∴AB=BC
又∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC，
又M為BC中點，∴BC⊥AM
而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN
解：（2）存在點E，使得MN∥面ACE，理由如下：
取PD中點E，連接NE，EC，AE，
∵N，E分別為PA，PD中點，
∴
又在菱形ABCD中，
∴，即MCEN是平行四邊形
∴NM∥EC，
又EC?平面ACE，NM?平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一點E，使得NM∥平面ACE，
此時 ．
（3）過A作AE垂直PD于E，作CF垂直PD于F，
則AE=，CF=，EF=，AC=2
設二面角A-PD-C的平面角為θ
則AC==2
則cosθ=
則tanθ=
分析：（1）要證線與面垂直，只要證明線與面上的兩條相交線垂直，找面上的兩條線，根據四邊形是一個菱形，從菱形出發找到一條，再從PA⊥平面ABCD，得到結論．
（2）對于這種是否存在的問題，首先要觀察出結論，再進行證明，根據線面平行的判定定理，利用中位線確定線與線平行，得到結論．
（3）過A作AE垂直PD于E，作CF垂直PD于F，則二面角A-PD-C的夾角即為AE，CF的夾角，代入異面直線上兩點之間的距離公式，構造關于θ的三角方程，即可求出二面角A-PD-C的正切值．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，空間中直線與平面之間的位置關系，是一個非常適合作為高考題目出現的問題，題目包含的知識點比較全面，重點突出，是一個好題．