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如圖,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分別為AE、AB的中點.
(I)證明:PQ∥平面ACD;
(II)求異面直線AE與BC所成角的余弦值;
(III)求AD與平面ABE所成角的正弦值.

【答案】分析:(I)先利用P、Q分別是AE、AB的中點⇒PQ∥BE,PQ=,再利用DC∥BE,DC=可以推出PQ∥DC進而證明PQ∥平面ACD;
(II)取BE的中點F,可以先推出QF∥AE且QF=AE,所以∠DFQ就是異面直線AE與BC所成的角,然后在△DFQ中求出
∠DFQ的余弦值即可.
(III)由AC=BC和Q為AB的中點可得CQ⊥AB,再利用DC⊥平面ABC,可得CQ⊥平面ABE,進而推出DP⊥平面ABE,所以∠DAP就是AD與平面ABE所成的角,在△DAP中求出∠DAP即可.
解答:解:(I)證明:由已知:P、Q分別是AE、AB的中點,
所以,PQ∥BE,PQ=BE,
又DC∥BE,DC=BE
所以,PQ∥DC
所以,PQ∥平面ACD(4分)

(II)取BE的中點F,連接QF,DF,DQ,可以推出QF∥AE且QF=AE,
易證∠DFQ就是異面直線AE與BC所成的角
易知CQ=1,AB=2,AE=4,QF=2,DF=BC=2,DQ=
由余弦定理:可得cos∠DFQ=(8分)

(III)由AC=BC和Q為AB的中點可得CQ⊥AB,
再利用DC⊥平面ABC,可得CQ⊥平面ABE,進而推出DP⊥平面ABE
所以∠DAP就是AD與平面ABE所成的角
DP=CQ=1,AD=
所以AD與平面ABE所成角的正弦值為.(12分)
點評:本題涉及了線面平行以及線線所成角和線面所成角,是對立體幾何知識的綜合考查.在證明線面平行時,其常用方法是在平面內找已知直線平行的直線.當然也可以用面面平行來推導線面平行.
練習冊系列答案
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