Question

（2012•河南模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB=1，PA=2．
（I）證明：直線CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線CE與平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取AD中點M，利用三角形的中位線證明EM∥平面PAB，利用同位角相等證明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，證得EC∥平面PAB；
（Ⅱ）證明平面DPC⊥平面PAC，作EH⊥PC于H，則EH⊥平面PAC，所以∠ECH為直線CE與平面PAC所成角，計算CE，EH，即可求得結論．

解答：（I）證明：取AD中點M，連EM，CM，則EM∥PA．
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．
而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
∵∠ACD=90°，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC
∵CD?平面DPC
∴平面DPC⊥平面PAC
作EH⊥PC于H，則EH⊥平面PAC
∴∠ECH為直線CE與平面PAC所成角
在直角△PCD中，CD=2

3

，PC=2

2

，∴PD=2

5

∵E為中點，EH∥CD
∴CE=

5

，EH=

3

∴sin∠ECH=

EH

EC

=

15

5

∴cos∠ECH=

10

5

∴直線CE與平面PAC所成角的余弦值為

10

5

．

點評：本題考查線面平行，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面平行的判定定理，正確作出線面角，屬于中檔題．