Question

設集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+2（a+1）x+（a²-5）=0}
（1）若A∩B={2}，求實數a的值；
（2）若A∪B=A，求實數a的取值范圍；
（3）若U=R，A∩（C_UB）=A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題目中條件：“A∩B={2}”，知2是方程的一個根，由此可得實數a的值；
（2）由題目中條件：“A∪B=A，”，知B⊆A，由此可得實數a的取值范圍；
（3）由題目中條件：“A∩（C_UB）=A，”，知A∩B=∅，由此可得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中方程
得a²+4a+3=0，所以a=-1或a=-3（2分）
當a=-1時，B={-2，2}，滿足條件；
當a=-3時，B={2}，也滿足條件
綜上得a的值為-1或-3；（4分）
（2）∵A∪B=A，∴B⊆A（5分）
①當△=4（a+1）²-4（a²-5）=8（a+3）＜0，即a＜-3時，B=∅滿足條件
②當△=0即a=-3時，B={2}，滿足要求（6分）
③當△＞0，即a＞-3時，B=A={1，2}才能滿足要求，不可能
故a的取值范圍是a≤-3．（9分）
（3）∵A∩（C_UB）=A，
∴A⊆（C_UB），
∴A∩B=∅（10分）
①當△＜0，即a＜-3時，B=∅，滿足條件
②當△=0即a=-3時，B={2}，A∩B={2}不適合條件
③當△＞0，即a＞-3時，此時只需1∉B且2∉B
將2代入B的方程得a=-1或a=-3
將1代入B的方程得a=-1±

3

∴a≠-1，a≠-3，a≠-1±

3

（12分）
綜上，a的取值范圍是a＜-3或-3＜a＜-1-

3

或-1-

3

＜a＜-1或或-1＜a＜-1+

3

或a＞-1+

3

（14分）

點評：本題主要綜合考查集合的交、并、補以及集合間的包含關系，屬于中檔題，解題時要善于進行轉化．