Question

一圓與兩條平行直線x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圓心在直線2x+y+1=0上,求圓的方程.

Answer 1

思路分析:本題關鍵在于求出圓的圓心.設所求圓的圓心為(a,b),已經知道其在直線2x+y+1=0,再列出一個關于a、b的方程就可以確定a、b的值了.圓與兩條平行直線相切,則其圓心到兩條直線的距離相等.要求到兩條平行直線距離相等的直線的方程很自然想到是兩條平行直線方程“平均”后的結果,

即=x+3y-4=0,這利用點到直線的距離公式不難證明.聯立兩條直線方程就得到圓心的坐標,利用點到直線的距離公式求的其到一條直線的距離即為半徑長度.

解:設所求圓的圓心為(a,b),由圓與兩條平行直線相切,由幾何性質我們知圓的圓心到兩條平行直線的距離相等,列出表達式即為,化簡得a+b=4,又由圓心在直線2x+y+1=0上,得2a+b+1=0,聯立關于a、b的兩個二元一次方程,

得a=,b=.所以圓心為(,),到其中一條直線的距離,

圖4-8

即為圓的半徑長.所以圓的方程是(x+)²+(y-)²=.