Question

已知橢圓的右焦點為，短軸的端點分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，弦的垂直平分線與軸相交于點.設弦的中點為，試求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）由橢圓的右焦點，即.又短軸的端點分別為,且，即可求出，的值.從而得到橢圓的方程.
（2）由（1）可得假設直線AB的方程聯立橢圓方程消去y即可得到一個關于x的二次方程，由韋達定理得到根與直線斜率k的關系式.寫出線段AB的中點坐標以及線段AB的垂直平分線的方程.即可得到點D的坐標.即可求得線段PD的長，根據弦長公式可得線段MN的長度，再通過最的求法即可得結論.
試題解析：（1）依題意不妨設，，則，.
由，得.
又因為，
解得.
所以橢圓的方程為.
（2）依題意直線的方程為. 
由得.
設，，則，.
所以弦的中點為
.
所以

.
直線的方程為，
由，得，則，
所以.
所以.
又因為，所以.
所以.
所以的取值范圍是.
考點：1.向量的數量積.2.橢圓的性質.3.等價轉化的數學思想.4.運算能力.