Question

（本小題滿分15分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，平行于的切線以為切點(diǎn)，求證：．

Answer 1

(Ⅰ) (0,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增   (Ⅱ)   （Ⅲ）見解析

解析:

（Ⅰ）記，則的定義域?yàn)?img width=47 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/146/238346.gif" >．

當(dāng)時(shí)，因，

所以在(0,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．……4分

（Ⅱ）由．

     令．

     當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，且；

     當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，且．

     所以在處取到最大值．

     所以要使與有兩個不同的交點(diǎn)，只需．…………9分

（III）由已知：，所以．

=．

設(shè)得： ．

構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在當(dāng)時(shí)是增函數(shù)．

于是，時(shí)，，則，得成立．

同理，可證得成立，從而求證成立． ……………………15分