Question

（2012•德陽三模）已知數列{a_n}滿足an+1=2an+2n+1-1，a1=5．
（1）是否存在實數λ，使數列{

an+λ

2n

}為等差數列？并說明理由；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）求證：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

5

．

Answer 1

分析：（1）假設存在一個實數λ符合題意，則

an+1+λ

2n+1

-

an+λ

2n

必為與n無關的常數，由此可求實數λ的值；
（2）由（1）知，數列{

an-1

2n

}為首項為2，公差為1的等差數列，從而可得數列{a_n}的通項，利用錯位相減法可求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）當n≥2時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

≥n+2，從而可得S_n=n×2ⁿ⁺¹+n≥2n（n+2）+2=2（n+1）²，取倒數，放縮再裂項求和，即可證得結論．

解答：（1）解：假設存在一個實數λ符合題意，則

an+1+λ

2n+1

-

an+λ

2n

必為與n無關的常數
∵

an+1+λ

2n+1

-

an+λ

2n

=1-

1+λ

2n+1

要使

an+1+λ

2n+1

-

an+λ

2n

是與n無關的常數，則1+λ=0，∴λ=-1
故存在一個實數λ=-1，使得數列{

an+λ

2n

}為等差數列；
（2）解：由（1）知，數列{

an-1

2n

}為首項為2，公差為1的等差數列
∴

an-1

2n

=n+1，∴an=(n+1)×2n+1
∴Sn=2×2+3×22+…+(n+1)×2n+n
令Tn=2×2+3×22+…+(n+1)×2n①
∴2Tn=2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1②
②-①可得Tn=-(2×2+22+…+2n)+（n+1）×2ⁿ⁺¹=-2-

2(1-2n)

1-2

+（n+1）×2ⁿ⁺¹=n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹+n
（3）證明：當n≥2時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

≥n+2
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹+n≥2n（n+2）+2=2（n+1）²，
∴

1

Sn

≤

1

2(n+1)2

≤

2

(2n+1)(2n+3)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

≤

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

=

2

5

-

1

2n+3

＜

2

5

∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

5

點評：本題考查等差數列的判定，考查數列的求和，考查不等式的證明，確定數列的通項，利用錯位相減法求數列的和是關鍵．