Question

給出下列三個命題：
①k=±1是直線y=k（x+1）與拋物線y²=4x只有一個交點(diǎn)的充要條件
②函數(shù)f（x）=lnx-(

1

2

)x在x∈（1，e）上有且只有一個零點(diǎn)
③直線ax+y+2a=0與圓x²+2x+y²-3=0恒有兩個不同交點(diǎn)．
其中不正確的命題序號是

 

．

Answer 1

分析：由直線與拋物線的關(guān)系，我們求出直線y=k（x+1）與拋物線y²=4x只有一個交點(diǎn)時，參數(shù)k的取值，結(jié)合充要條件的定義，我們可以判斷①的真假；由函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷方法，我們可以判斷②的真假；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷方法，我們可以判斷出③的真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵k=0時，直線y=k（x+1）與拋物線y²=4x也只有一個交點(diǎn)，故k=±1是直線y=k（x+1）與拋物線y²=4x只有一個交點(diǎn)的充分不必要條件，故①錯誤；
函數(shù)f（x）=lnx-(

1

2

)x在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，且f（0）•f（e）＜0，故函數(shù)f（x）=lnx-(

1

2

)x在x∈（1，e）上有且只有一個零點(diǎn)正確；
直線ax+y+2a=0恒過（-2，0）點(diǎn)，而（-2，0）點(diǎn)在圓x²+2x+y²-3=0內(nèi)，故直線ax+y+2a=0與圓x²+2x+y²-3=0恒有兩個不同交點(diǎn)正確；
故答案為①

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是命題的真假判斷，函數(shù)的零點(diǎn)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，其中根據(jù)上述基本知識點(diǎn)判斷出題目中三個命題的真假是解答本題的關(guān)鍵，①中易忽略直線與拋物線的對稱軸平行的情況．