Question

已知函數f（x）=lnx+

1

x

+ax，x∈（0，+∞） （a為實常數）．
（1）當a=0時，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[2，+∞）上是單調函數，求a的取值范圍；
（3）設各項為正的無窮數列{x_n}滿足lnx_n+

1

xn+1

＜1（n∈N^*），證明：x_n≤1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）a=0時，f′（x）=

x-1

x2

則當0＜x＜1時f′（x）＜0，當x＞1時f′（x）＞0可求解；
（2）由f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

分a≥0和a＜0兩種情況討論
（3）用反證法，假設x₁=b＞1，由（2）已得到

b

xn

＞lnb+

1

xn+1

，再遞推得1=

b

x1

＞lnb+

1

x2

＞ lnb+ 

1

b

(lnb+

1

x3

)…＞(1+

1

b

+

1

b2

+…)lnb從而有lnb+

1

b

＞1
∴lnb＞1-

1

b

＞1，得出矛盾．

解答：解（1）a=0時，f′（x）=

x-1

x2

當0＜x＜1時f′（x）＜0，當x＞1時f′（x）＞0，
∴f（x）_min=1
（2）f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

當a≥0時，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求；
當a＜0時，令g（x）=ax²+x-1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或

1+4a＞0 g(2)≤0 - 1 2a ≤2

，解得：a≤-

1

4

∴a的取值范圍是（-∞，-

1

4

]∪[0，+∞）

（3）反證法：假設x₁=b＞1，由（1）知，
∴ln

xn

b

+

b

xn

≥1＞lnx_n+

1

xn+1

，∴

b

xn

＞lnb+

1

xn+1

，（n∈N^*），
∴故1=

b

x1

＞lnb+

1

x2

＞ lnb+ 

1

b

(lnb+

1

x3

)…＞(1+

1

b

+

1

b2

+…)lnb=

1

1- 1 b

lnb，即

1

1- 1 b

lnb＜1，即lnb＜1-

1

b

，①
又由（1）當b＞1時，lnb+

1

b

＞1∴lnb＞1-

1

b

＞1，與①矛盾，故b≤1，即x₁≤1，
同理可證x₂≤1，x₃≤1，…，x_n≤1（n∈N^*）

點評：本題主要考查用導數法求閉區間上的最值，求參數的范圍以及用反證法證明不等式問題，綜合性較強要理清思路．