Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，其棱長為2，O是底ABCD對角線的交點．
求證：（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁．
（3）若M是CC₁的中點，求證：平面AB₁D₁⊥平面MB₁D₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接A₁C₁，設A₁C₁∩B₁D₁=O₁連接AO₁，由正方體的幾何特征，我們易得到C₁O∥AO₁，結合線面平行的判定定理，即可得到C₁O∥面AB₁D₁；
（2）由正方體的幾何特征，我們可得CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁，進而得到A₁C⊥B₁D₁及A₁C⊥AB₁，由線面垂直的判定定理，即可得到A₁C⊥面AB₁D₁．
（3）若M是CC₁的中點，設B₁D₁的中點為N，則AN⊥B₁D₁，MN⊥B₁D₁，由勾股定理，我們可以判斷出△AMN是RT△，進而根據面面垂直的判定定理得到平面AB₁D₁⊥平面MB₁D₁．
解答：證明：（1）連接A₁C₁，設A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接AO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體
∴A₁ACC₁是平行四邊形
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC
又O₁，O分別是A₁C₁，AC的中點，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO
∴AOC₁O₁是平行四邊形
∴C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁
∴C₁O∥面AB₁D₁（5分）
（2）∵CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁
∴CC₁⊥B₁D_!
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，
∴B₁D₁⊥面A₁C₁C
即A₁C⊥B₁D₁
同理可證A₁C⊥AB₁，
又D₁B₁∩AB₁=B₁
∴A₁C⊥面AB₁D₁（9分）
（3）設B₁D₁的中點為N，則AN⊥B₁D₁，MN⊥B₁D₁，
則
∴AN²+MN²=AM²，
∴△AMN是RT△，
∴AN⊥MN，
∴AN⊥面MB₁D₁，
∴面AB₁D₁⊥面MB₁D₁．
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，屬于空間直線與平面間關系判定定理及性質定理的基本應用．