Question

（2010•合肥模擬）已知向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，f(x)=

a

•

b

-

3

2

，下面關(guān)于函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）說法中錯誤的是（　　）

• A．函數(shù)最小正周期是π
• B．函數(shù)在區(qū)間(0，

  π

  3

  )為減函數(shù)
• C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=

  π

  2

  對稱
• D．圖象可由函數(shù)y=2sin2x向左平移

  5π

  12

  個單位長度得到

Answer 1

分析：A：根據(jù)函數(shù)的解析式可得：f′（x）的最小正周期為：π．
B：因?yàn)閷τ诤瘮?shù) y=cos(2x+

π

3

)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，所以f′（x）在區(qū)間(0，

π

3

)為減函數(shù)．
C：函數(shù)f′（x）=2cos（2x+

π

3

）的對稱軸為：x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z．
D：函數(shù)y=2sin2x向左平移

5π

12

個單位長度得到函數(shù)y=2sin（2x-

5π

6

），再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得此答案正確．

解答：解：因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

a

=(sinx，cosx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，
所以f(x)=

a

•

b

-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
所以f′（x）=2cos（2x+

π

3

）．
所以f′（x）的最小正周期為：π，所以A正確．
因?yàn)閷τ诤瘮?shù) y=cos(2x+

π

3

)的單調(diào)減區(qū)間為2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
所以f′（x）在區(qū)間(0，

π

3

)為減函數(shù)，所以B正確．
函數(shù)f′（x）=2cos（2x+

π

3

）的對稱軸為：x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，所以C錯誤．
D：函數(shù)y=2sin2x向左平移

5π

12

個單位長度得到函數(shù)y=2sin（2x-

5π

6

），再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得此答案正確．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查了余弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的理解和把握．