Question

7．.已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（2）若定點P（1，1）分弦AB為$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線l的方程可得直線經(jīng)過定點H（1，1），而點H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑，故點H在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交，命題得證．
（2）把線段的長度比轉(zhuǎn)化為兩個向量的關(guān)系，由向量的坐標(biāo)運算得到A，B兩點橫坐標(biāo)間的關(guān)系，聯(lián)立直線與圓的方程化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點橫坐標(biāo)的和，求出其中一點的橫坐標(biāo)，最后再代入關(guān)于x的方程得到關(guān)于m的方程，求解得到m的值，則直線方程可求．

解答 解：（1）由于直線l的方程是mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），經(jīng)過定點H（1，1），
而點H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑$\sqrt{5}$，故點H在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交，
故直線和圓恒有兩個交點．；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PB}$，
∴1-x₁=$\frac{1}{2}$（x₂-1），化簡的x₂=3-2x₁…①
又由直線代入圓的方程，消去y得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0…（*）
∴x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$…②
由①②解得x₁=$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$代入（*）式解得m=±1，
∴直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0

點評 本題考查了與直線有關(guān)的動點的軌跡方程，考查了直線與圓的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生的靈活處理問題的能力和計算能力，是中高檔題．