Question

已知數列{a_n}和{b_n}的通項公式分別為a_n=3n+6，b_n=2n+7（n∈N^*）．將集合{x|x=a_n，n∈N^*}∪{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素從小到大依次排列，構成數列c₁，c₂，c₃，…，c_n，…
（1）寫出c₁，c₂，c₃，c₄；
（2）求證：在數列{c_n}中，但不在數列{b_n}中的項恰為a₂，a₄，…，a_2n，…；
（3）求數列{c_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩個數列的通項公式求出前3項，按從小到大挑出4項．
（2）對于數列{a_n}，對n從奇數與偶數進行分類討論，判斷是否能寫成2n+7的形式．
（3）對{a_n}中的n從從奇數與偶數進行分類討論，對{b_n}中的n從被3除的情況分類討論，判斷項的大小，求出數列的通項．
解答：解：（1）a₁=3×1+6=9；     a₂=3×2+6=12              a₃=3×3+6=15
b₁=2×1+7=9               b₂=2×2+7=11             b₃=2×3+7=13 
∴c₁=9；c₂=11；c₃=12；c₄=13
（2）解對于a_n=3n+6，
當n為奇數時，設為n=2k+1
則3n+6=2（3k+1）+7∈{b_n}
當n為偶數時，設n=2k則3n+6=6k-1+7不屬于{b_n}
∴在數列{c_n}中，但不在數列{b_n}中的項恰為a₂，a₄，…，a_2n，…；
（3）b_3k-2=2（3k-2）+7=a_2k-1
b_3k-1=6k+5 
a_2k=6k+6
b_3k=6k+7
∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7
∴當k=1時，依次有b₁=a₁=c₁，b₂=c₂，a₂=c₃，b₃=c₄…
∴
點評：本題考查利用數列的通項公式求數列的項、考查判斷某項是否屬于一個數列是看它是否能寫出通項形式、考查分類討論的數學數學方法．