Question

已知函數f（x）=x³-ax²-bx+a²在x=1處有極值10，則a、b的值為（　　）

A．a=-4，b=11

B．a=3，b=-3或a=-4，b=11

C．a=-1，b=5

D．以上都不正確

Answer 1

分析：求導數，利用函數在x=1處有極值10，得到兩個條件f（1）=10和f'（1）=0，然后利用方程組求解a，b．

解答：解：函數的導數為f'（x）=3x²-2ax-b，
因為函數f（x）=x³-ax²-bx+a²在x=1處有極值10，
所以f（1）=10且f'（1）=0．
即

3-2a-b=0 1-a-b+a2=10

，解得

a=3 b=-3

或

a=-4 b=11

．
當a=3，b=-3時，f'（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
此時函數單調遞增，所以此時函數沒有極值，所以不滿足條件．
所以經檢驗值當a=-4，b=11時，滿足條件．
故選A．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值問題，要求掌握可導函數取得極值的條件，f'（x）=0是函數取得極值的必要不充分條件，求解之后要注意進行檢驗．