Question

如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2

2

．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；
（3）求點C到平面PBD的距離．

Answer 1

分析：（1）證明直線BD所在的向量與平面內兩個不共線的向量垂直，即可得到直線與平面內的兩條相交直線垂直，進而得到線面垂直．
（2）由題意求出兩個平面的法向量，求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角P-CD-B的平面角即可．
（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜線PC所在的向量

PC

，然后求出

PC

在法向量上的射影即可得到點到平面的距離．

解答：解：（1）建立如圖所示的直角坐標系，
則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD=2，BD=2

2

，
∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴

AP

=(0，0，2)，

AC

=(2，2，0)，

BD

=(-2，2，0)
∵

BD

•

AP

=0，

BD

•

AC

=0，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又因為AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）由（1）得

PD

=(0，2，-2)，

CD

=(-2，0，0)．
設平面PCD的法向量為

n1

=(x，y，z)，
則

n1

•

PD

=0，

n1

•

CD

=0，
即

0+2y-2z=0 -2x+0+0=0

，
∴

x=0 y=z

，故平面PCD的法向量可取為

n1

=(0，1，1)
∵PA⊥平面ABCD，
∴

AP

=(0，01)為平面ABCD的法向量．
設二面角P-CD-B的大小為θ，依題意可得cosθ=|

n1 • AP

| n1 |•| AP |

|=

2

2

．
（3）由（Ⅰ）得

PB

=(2，0，-2)，

PD

=(0，2，-2)，
設平面PBD的法向量為

n2

=(x，y，z)，
則

n2

•

PB

=0，

n2

•

PD

=0，即

2x+0-2z=0 0+2y-2z=0

，
∴x=y=z，故可取為

n2

=(1，1，1)．
∵

PC

=(2，2，-2)，
∴C到面PBD的距離為d=|

n2 • PC

| n2 |

|=

2 3

3

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，以便建立空間直角坐標系利用向量的基本運算解決線面共線、空間角與空間距離等問題．