Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊長分別為a，b，c，如果acosB=bcosA，那么△ABC一定是（ ）
A．銳角三角形
B．鈍角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形

Answer 1

【答案】分析：根據圖形得，在直角△ACD和直角△BCD中，兩次利用正弦定理得到bsinA=asinB，又因為bcosA=acosB，所以得到tanA=tanB，而∠A和∠B為銳角，所以∠A=∠B，所以三角形為等腰三角形．
解答：
解法1：過C作CD⊥AB，垂足為D，
在直角△ACD中，根據正弦定理得：=，
解得CD=bsinA，
在直角△BCD中，根據正弦定理得：=，
解得CD=asinB，
所以bsinA=asinB，
又因為bcosA=acosB
兩個等式聯立得：tanA=tanB，
而∠A和∠B為銳角，所以∠A=∠B，
所以三角形為等腰三角形；
解法2：∵acosB=bcosA，
∴=，又根據正弦定理=，
∴=，即sinBcosA-sinAcosB=0，
∴sin（B-A）=0，又A和B都為三角形的內角，
∴A=B，
即三角形為等腰三角形．
故選D
點評：考查學生利用正弦定理解決數學問題的能力，以及運用同角三角函數基本關系的能力．