Question

設滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”：

①；②．

（1）若等比數列為 ()階“期待數列”，求公比；

（2）若一個等差數列既是 ()階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；

（3）記階“期待數列”的前項和為：

（ⅰ）求證：；

（ⅱ）若存在使，試問數列能否為階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）．（3）（ⅰ）利用前n項和進行放縮證明．（ⅱ）數列和數列不能為階“期待數列”．

【解析】

試題分析：（1）若，則由①=0，得，

由②得或．

若，由①得，，得，不可能．

綜上所述，．

（2）設等差數列的公差為，>0．

∵，∴，

∴，

∵>0，由得，，

由題中的①、②得，

，

兩式相減得，， ∴，

又，得，

∴．

（3）記，，…，中非負項和為，負項和為，

則，，得，，

（ⅰ），即．

（ⅱ）若存在使，由前面的證明過程知：

，，…，，，，…，，

且…．

記數列的前項和為，

則由（ⅰ）知，，

∴=，而，

∴，從而，，

又…，

則，

∴，

與不能同時成立，

所以，對于有窮數列，若存在使，則數列和數列不能為階“期待數列”．

考點：本題考查了數列的通項公式及前n項和

點評：數列的通項公式及應用是數列的重點內容，數列的大題對邏輯推理能力有較高的要求，在數列中突出考查學生的理性思維，這是近幾年新課標高考對數列考查的一個亮點，也是一種趨勢