Question

在數列{a_n}中，已知a₁=

2

3

，a_n=

2an-1

2an-1+1

．
（1）求a₂、a₃并判斷{a_n}能否為等差或等比數列；
（2）令b_n=

1

an

，求證：{b_n-2}為等比數列；
（3）求數列{

n•2n

an

}的前n項和s_n．

Answer 1

分析：（1）根據所給遞推公式，依次代入n=2，n=3，就可求解，利用等差和等比數列的定義即可判斷出答案；
（2）將所給遞推公式進行變形，得到b_n和b_n-1的遞推關系，構造出bn-2=

1

2

(bn-1-2)，即可證得{b_n-2}為等比數列；
（3）求出數列{

n•2n

an

}的通項的表達式，利用錯位相減法，即可求得數列{

n•2n

an

}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵a₁=

2

3

，a_n=

2an-1

2an-1+1

，
∴a₂=

2a1

2a1+1

=

4

7

，
a₃=

2a2

2a2+1

=

8

15

，
數列{a_n}既不是等差數列也不是等比數列；
（2）證明：∵a_n=

2an-1

2an-1+1

，
∴

1

an

=

2an-1+1

2an-1

=

1

2

1

an-1

+1，
∵b_n=

1

an

，則bn=

1

2

bn-1+1，
∴bn-2=

1

2

(bn-1-2)，
∴{b_n-2}是首項為-

1

2

，公比為

1

2

的等比數列；
（3）由（2）可知，b_n-2=-（

1

2

）ⁿ，
∴b_n=

1

an

=2-（

1

2

）ⁿ，
∴

n•2n

an

=n•2n+1-n，
令T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=1×2³+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2^n-1-n×2ⁿ⁺²=

4(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺²=-4+（1-n）2ⁿ⁺²，
∴T_n=4+（n-1）2ⁿ⁺²，
∴S_n=4+（n-1）2ⁿ⁺²-

n(n+1)

2

，

點評：本題考查了數列的遞推公式，求數列的通項公式，求數列的和．解題時要注意觀察所給表達式的特點，根據式子的特點判斷選用何種方法進行解題．本題求通項公式選用了構造新數列的方法求解，求和時選用了錯位相減法，要注意錯位相減法適用于一個等差數列乘以一個等比數列的形式．屬于中檔題．