Question

已知x，y∈R，且復數z₁=x+y-30-xyi和復數z₂=-|x+yi|+60i是共軛復數，設復數z₁，z₂在復平面內對應的點分別為A，B，又O為坐標原點，求△OAB的面積．

Answer 1

解：∵復數z₁=x+y-30-xyi和復數z₂=-|x+yi|+60i是共軛復數，
∴x+y-30=-|x+yi|，-xy=-60，即x+y-30=-，xy=60．
解得x=12、y=5，或 x=5，y=12．
故復數z₁ =-13-60i，復數z₂=-13+60i．
又復數z₁，z₂在復平面內對應的點分別為A，B，由題意可得△OAB為等腰三角形，
∴AB=120，原點O到AB的距離為13，
△OAB這個等腰三角形的面積為 S_△OAB=×120×13=780．
分析：由題意可得x+y-30=-|x+yi|，-xy=-60，解出x、y的值，可得復數z₁ 及復數z₂ 的值，即可求得AB 長度及
原點O到AB的距離，由此求得等腰三角形△OAB的面積．
點評：本題主要考查復數的代數表示法及其幾何意義，求出復數z₁ =-13-60i，復數z₂=-13+60i，是解題的關鍵，
屬于基礎題．