Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 

2

，E，F分別是AD，PC的中點
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BAP所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（I）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出各頂點的坐標，進而求出PC，BE，BF的方向向量，根據向量的數量積為0，則向量垂直，可證得PC⊥BF，PC⊥EF，再由線面垂直的判定定理得到答案．
（II）由已知及（I）中結論，可得向量

AD

=（0，2 

2

，0）是平面BAP的一個法向量，向量

PC

=（2，2 

2

，-2）是平面BEF的一個法向量，代入向量夾角公式，可得平面BEF與平面BAP所成二面角的大小．

解答：解：∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 

2

，E，F分別是AD，PC的中點
以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則
P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2 

2

，0），D（0，2 

2

，0），E（0，

2

，0），F（1，

2

，1）
證明：（I）由題意得

PC

=（2，2 

2

，-2），

BE

=（-2，

2

，0），

BF

=（-1，

2

，1），
∵

PC

•

BE

=-4+4+0=0，

PC

•

BF

=-2+4-2=0
∴

PC

⊥

BE

，

PC

⊥

BF

∴PC⊥BF，PC⊥EF，又∵BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF
解：（II）由已知可得向量

AD

=（0，2 

2

，0）是平面BAP的一個法向量
由（I）得向量

PC

=（2，2 

2

，-2）是平面BEF的一個法向量
設平面BEF與平面BAP所成二面角的大小為θ
則cosθ=

| AD • PC |

| AD |•| PC |

=

2

2

則θ=45°
即平面BEF與平面BAP所成二面角為45°

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，二面角的求法，其中建立空間直角坐標系，將線線垂直問題和二面角問題轉化為向量垂直及向量夾角問題是解答本題的關鍵．