Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-9x+b的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，2），且f′（1）=0．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；     
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)過(guò)P點(diǎn)，把P坐標(biāo)代入到f（x）中得到b的值，又因?yàn)楹瘮?shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為0得到（1，0）在導(dǎo)函數(shù)上，求出導(dǎo)函數(shù)代入求出a即可；
（2）要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間令導(dǎo)函數(shù)大于或小于0，解出相應(yīng)的不等式，即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）可知，b=2，…（2分）
又f'（x）=3x²+2ax-9，…（4分）
且f′（1）=0得a=3…（6分）
∴f（x）=x³+3x²-9x+2…（7分）
（2）f′（x）=3x²+6x-9=3（x²+2x-3）=3（x+3）（x-1）
令f′（x）＞0，則3（x+3）（x-1）＞0，解得x＜-3或x＞1…（9分）
令f′（x）＜0，則3（x+3）（x-1）＜0，解得-3＜x＜1…（11分）
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3）和（1，+∞）
函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，1）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生利用待定系數(shù)的方法求函數(shù)解析式的運(yùn)用能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，屬于中檔題．