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已知函數f(x)=
x1+x2
,x∈(-1,1)
(1)判斷函數f(x)的奇偶性,并證明;
(2)判斷函數f(x)的單調性,并證明;
(3)求使f(1-m)+f(1-m2)<0成立的實數m的取值范圍.
分析:(1)由于函數的定義域關于原點對稱,且滿足f(-x)=
-x
1+x2
=-f(x)
,可得f(x)為奇函數.
(2)根據在函數的定義域內,f′(x)=
1-x2
(1+x2)2
>0,可得函數f(x)在(-1,1)上單調遞增.  
(3)由f(1-m)+f(1-m2)<0可得f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),故有 
-1<1-m<1
-1<m2-1<1
1-m<m2-1

由此解得m的范圍.
解答:解:(1)f(x)為奇函數.
證明:由于函數的定義域為(-1,1),關于原點對稱,且滿足f(-x)=
-x
1+x2
=-f(x)

∴f(x)為奇函數.…(3分)
(2)函數f(x)在(-1,1)上單調遞增,
證明:當-1<x<1時,f′(x)=
1-x2
(1+x2)2
>0,
故函數f(x)在(-1,1)上單調遞增.  …(8分)
(3)由f(1-m)+f(1-m2)<0可得f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),
-1<1-m<1
-1<m2-1<1
1-m<m2-1
,解得  1<m<
2
. …(12分)
點評:本題主要考查函數的單調性、奇偶性的綜合應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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