Question

已知函數f（x）=

x

1+x2

，x∈（-1，1）
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并證明；
（3）求使f（1-m）+f（1-m²）＜0成立的實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數的定義域關于原點對稱，且滿足f(-x)=

-x

1+x2

=-f(x)，可得f（x）為奇函數．
（2）根據在函數的定義域內，f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

＞0，可得函數f（x）在（-1，1）上單調遞增．  
（3）由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），故有 

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

，
由此解得m的范圍．

解答：解：（1）f（x）為奇函數．
證明：由于函數的定義域為（-1，1），關于原點對稱，且滿足f(-x)=

-x

1+x2

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數．…（3分）
（2）函數f（x）在（-1，1）上單調遞增，
證明：當-1＜x＜1時，f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

＞0，
故函數f（x）在（-1，1）上單調遞增．  …（8分）
（3）由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∴

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

，解得  1＜m＜

2

． …（12分）

點評：本題主要考查函數的單調性、奇偶性的綜合應用，屬于中檔題．