Question

10．（1）設f（x）=ax+b，且$\int_{\;-1}^{\;1}{{{[{f（x）}]}^2}dx}=2$，求f（a）的取值范圍．
（2）求函數f（x）=x³-3x過點P（1，-2）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）利用定積分得出a²+3b²=3，取a=$\sqrt{3}$cosα，b=sinα，f（a）=a²+b=3cos²α+sinα=$-3（sinα-\frac{1}{6}）^{2}+\frac{37}{12}$，即可求f（a）的取值范圍；
（2）根據導數的幾何意義，先求出斜率即可，故先設切點坐標為（t，t³-3t），利用導數求出在x=t處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：（1）由題意（$\frac{{a}^{2}}{3}{x}^{3}$+abx²+b²x）${|}_{-1}^{1}$=$\frac{2{a}^{2}}{3}+2{b}^{2}$=2，∴a²+3b²=3，
取a=$\sqrt{3}$cosα，b=sinα，f（a）=a²+b=3cos²α+sinα=$-3（sinα-\frac{1}{6}）^{2}+\frac{37}{12}$，
∴$-1≤f（a）≤\frac{37}{12}$；
（2）∵函數的導數為f′（x）=3x²-3，
設切點坐標為（t，t³-3t），
則切線的斜率k=f′（t）=3t²-3=3（t²-1），
則切線方程為y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切線過點P（1，-2），
∴-2-（t³-3t）=3（t²-1）（1-t），
∴t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或t=$\frac{1}{2}$．
∴切線的方程：y+2=0或9x+4y-1=0．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查定積分知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．