Question

已知圓C：x²+（y-3）²=4，一動直線l過A（-1，0）與圓C相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）求證：當l與m垂直時，l必過圓心C；
（Ⅱ）當PQ=2

3

時，求直線l的方程；
（Ⅲ）探索

AM

•

AN

是否與直線l的傾斜角有關，若無關，請求出其值；若有關，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由直線m的斜率求出直線l的斜率，根據點A和圓心坐標求出直線AC的斜率，得到直線AC的斜率與直線l的斜率相等，所以得到直線l過圓心；
（Ⅱ）分兩種情況：①當直線l與x軸垂直時，求出直線l的方程；②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的斜率為k，寫出直線l的方程，根據勾股定理求出CM的長，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設直線l的距離d，讓d等于CM，列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程即可；
（Ⅲ）根據CM⊥MN，得到

CM

•

AN

等于0，利用平面向量的加法法則化簡

AM

•

AN

等于

AC

•

AN

，也分兩種情況：當直線l與x軸垂直時，求得N的坐標，分別表示出

AN

和

AC

，求出兩向量的數量積，得到其值為常數；當直線l與x軸不垂直時，設出直線l的方程，與直線m的方程聯立即可求出N的坐標，分別表示出

AN

和

AC

，求出兩向量的數量積，也得到其值為常數．綜上，得到

AM

•

AN

與直線l的傾斜角無關．

解答：解：（Ⅰ）∵直線l與直線m垂直，且km=-

1

3

，
∴k_l=3，又k_AC=3，
所以當直線l與m垂直時，直線l必過圓心C；
（Ⅱ）①當直線l與x軸垂直時，易知x=-1符合題意，
②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
因為PQ=2

3

，所以CM=

4-3

=1，
則由CM=

|-3+k|

k2+1

=1，得k=

4

3

，
∴直線l：4x-3y+4=0．
從而所求的直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0；
（Ⅲ）因為CM⊥MN，
∴

AM

•

AN

=(

AC

+

CM

)•

AN

=

AC

•

AN

+

CM

•

AN

=

AC

•

AN

，
當直線l與x軸垂直時，易得N(-1， -

5

3

)，
則

AN

=(0，-

5

3

)，又

AC

=(1，3)，
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1），
則由

y=k(x+1) x+3y+6=0

，得N（

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

），
則

AN

=(

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

)，
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=

-5

1+3k

+

-15k

1+3k

=-5，
綜上，

AM

•

AN

與直線l的斜率無關，且

AM

•

AN

=-5．

點評：此題考查學生掌握兩直線垂直時斜率滿足的條件，靈活運用平面向量的數量積的運算法則化簡求值，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，會利用分類討論的數學思想解決實際問題，是一道綜合題．