Question

已知函數f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若函數f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實數a的值；
（2）若f（x）在區間（-∞，2]上是減函數，且對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求實數a的取值范圍；
（3）若f（x）在x∈[1，3]上有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次函數f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的對稱軸x=a與區間[1，a]再結合一元二次函數的單調性即可求出值域．
（2）由于要使對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4則必有[f（x）]_max-[f（x）]_min≤4即因此需求出函數在[1，a+1]上的最大最小值．
（3）根據函數零點與方程的關系可得f（x）在x∈[1，3]上有零點即f（x）=0在x∈[1，3]上有實數解也即2a=

x2+5

x

=x+

5

x

在x∈[1，3]上有實數解則問題轉化為求函數g（x）=x+

5

x

的值域．

解答：解：（1）∵函數f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的對稱軸為x=a∈[1，a]
∴函數f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上單調遞減
∵函數f（x）的定義域和值域均為[1，a]
∴a=f（1）
∴a=2
（2）∵f（x）在區間（-∞，2]上是減函數
∴a≥2
∴函數f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上單調遞減，[a，a+1]上單調遞增
∵f（1）≥f（a+1）
∴[f（x）]_max=f（1），[f（x）]_min=f（a）
∵對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min
∴要使對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4則必有[f（x）]_max-[f（x）]_min≤4即可
∴f（1）-f（a）≤4
∴a²-2a+1≤4
∴-1≤a≤3
∵a≥2
∴2≤a≤3
（3）∵f（x）在x∈[1，3]上有零點
∴f（x）=0在x∈[1，3]上有實數解
∴2a=

x2+5

x

=x+

5

x

在x∈[1，3]上有實數解
令g（x）=x+

5

x

則g（x）在[1，

5

]單調遞減，在（

5

，3]單調遞增且g（1）=6，g（3）=

14

3

∴2

5

≤g（x）≤6
∴2

5

≤2a≤6
∴

5

≤a≤3

點評：本題主要考察函數零點與方程根的關系以及利用函數的單調性求函數的值域．解題的關鍵是雖然（1）（2）都可轉化為求函數的最值但第二問首先需分析出對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min
而對于第三問關于求參數的取值范圍的類型長采用反解的方式即用未知數表示參數然后轉化為求函數在指定范圍內的值域問題！